どうもお疲れ様です。

抽選方法については、19名以上の場合については「先着順」にしてはどうでしょうか。
つまり、リスト提出の早かった人から18人までが抽選権があり、19人目以降は無条件で失格と。
こうすればおそらく19人目以降の人は指名を避けるでしょうし。

　まあリスト提出の後出しが有利というのを少しでも緩和しようとするなら、
　思い切ってフルゲート18頭の馬番ではなく枠番で先着８人までに抽選権を与える、としてもいいかもしれないですね。
　（もちろん３頭入りが予想される７、８枠が有利なわけですが、早く提出した人に選択権があるということで。）

ちなみにこの方法（馬番であっても）でいくならば、いったん第一次指名期間を締め切った後、
指名馬の整理や番号指定のために一週間程度の期間をおく必要があると思います。
もしくはもっと簡略化するなら、リスト提出の早い順に１→２→…→18と馬番を打っていってもいいかも。
（死に目を避けるためにリスト提出のタイミングを見計らうのも一つの戦略？）